Avr 032021
 

en réponse à cette vidéo,

je présente la réponse les 2 réponses suivantes :

1 La paradoxe de Zénon

Il n’y a pas de paradoxe. mais une intuition fausse, à savoir qu’il serait impossible de parcourir une infinité d’étapes en un temps fini.

Il est aisé de démontrer que le temps de parcours reste inchangé quelque soit le nombre d’étapes considérées, y compris lorsque ce nombre d’étapes devient très grand et a fortiori infini.

soit f(x) = 1/ 2^(x)

Cette fonction donne le temps de parcoure d’une étape issue de la X ème division

f(0) = 1

f(1) = 1/2

f(2) = 1/4

f(3) = 1/16

f(4) = 1/256

etc…

Le temps total du parcours en N étapes peut donc s’écrire

g(N) = somme(x=1 à x=n de f(x)) + f(n)

le +f(n) final étant la partie restante (la seconde moitié) après l’étape n

Il est aisé de calculer g(N+1) en fonction de g(N)

g(N+1) = somme(x=1 à x=n+1 de f(x)) + f(n+1)

g(N+1) = somme(x=1 à x=n de f(x)) + f(n+1) + f(n+1)

or ( f(n+1) = f(n)/2 donc

g(N+1) = somme(x=1 à x=n de f(x)) + f(n)/2 + f(n)/2

g(N+1) = somme(x=1 à x=n de f(x)) + f(n)

g(N+1) = g(N)

En conséquence g est une constante, même si N tends vers +inf

Il me parait fallacieux de présenter comme un « paradoxe » des problèmes auxquels il existe une réponse formelle et simple.

Un paradoxe c’est un problème auquel 2 raisonnement logiques sa basant sur les mêmes hypothèses consuisent à des conclusions contradictoires ou à minima aparemment contradictoires.

Le cas où on considère l’avancement de la tortue à chaque étape est un peu plus compliqué mais se résout de la même manière.

En fait, c’est la division en étapes qui rends le problème difficile. C’est juste pas la bonne façon de s’y prendre. De façon générale, toute méthode qui suppose une résolution par étapes et donc un temps d’écriture infini est une mauvaise approche. Sauf dans le cas particulier où on peut montrer qu’après un grand nombre d’itérations (grand mais raisonablement atteignable) , on aura atteint une approximation satisfaisante du résultat rigoureusement exact et qu’il n’est en pratique pas nécessaire de poursuivre.

2 Ce que la tortue dit à Achille

On veut au choix nous perdre dans une récursion infinie tout comme l’histoire de la course et des distance qui se réduisent à l’infini sans jamais s’annuler.

Ou bien, (plus plausible selon moi) juste reffuser un raisonnement logique en prétextant un manque de rigueur alors qu’en fait on prouve déjà dès le début qu’on reffuse d’appliquer en pratique les principes logiques qu’on prétends pourtant accepter.

Mais admettons. Je propose d’utiliser cette succession indéfinie et potentiellement infinie d’étapes pour contraindre la tortue. et cependant sans même essayer de décomposer moi même le problème logique à résoudre.

J’apelle Pf la proposition « finale », celle que la tortue ne veut pas admettre ou du moins pas directement.

Je me propose de résoudre le paradoxe en N étapes numérotées de P1 à Pn, Pn étant par hypothèse équivalent à Pf
A ce stade la valeur de n est encore inconnue, mais je soumet à la tortue la propositions préliminaire P0

P0: « A supposer l’existance d’une une proposition Pn dont l’énoncé serait identique à Pf, alors accepter cette proposition Pn impliquerai l’acceptation de Pf ».

Selon les hypothèse du problème la tortue que l’on dit rationelle n’a pas de raison de reffuser cette proposition P0. Elle l’accepte donc.

Par la suite, quel que soit le nombre N de proposition logiques successives que ferai pour arriver logiquement à Pn (Et à priori N ne dépassera pas 3) la tortue rationelle les acceptera. (puisque elle sont soit des constats, soit des déductions logiques et que par hypothèse, la tortue est rationelle.

Lorsque j’arriverai à Pn, étant donné que Pn ne sera que la proposition succédant logiquement aux propositions précédentes, et comme on a posé comme hypothèse de travail que la tortue acceptait toute proposition rationelle, elle accepte Pn.

CQFD.

Histoire d’enfoncer le clou, j’ajoute alors une proposition N+1 dans laquelle je fait constatter à la tortue que l’énnoncé de Pn étant identique à Pf Pn est bien la proposition à laquelle P0 fait référence
Ce que la tortue acceptera.

Il n’y alors plus de raisonnement logique, il suffit de savoir lire.
De part les proposition P0 et Pn déjà acceptée, La proposition Pf se trouve alors acceptée du même coup. Ce n’est pas une conséquence logique qu’on pourrait réffuter. C’est un énoncé qui a déjà été accepté et qu’il suffit de lire.


Si alors la tortue persiste à prétendre ne pas accepter Pf, alors elle contredit l’énoncé pourtant très excplicite de P0, qu’elle a pourtant déjà accepté. Cette incohérence contredit l’hypothèse de départ comme quoi elle serait rationelle. La tortue ne pouvant agir de façon contraire aux hypothèses du problème, se trouve alors contrainte d’accepter Pf. En fait elle n’a même pas besoin de le faire, c’est déjà fait. Elle est plutot contrainte de reconnaitre qu’elle a déjà accepté Pf.

En cas de refus, persistant, les hypothèses de travail de ce problème sont incohérantes. Il ne s’agit donc pas d’un paradoxe mais juste d’un problème incohérant qui est donc sans intéret.



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